机械系统的运动学建模与仿真（Kinematics Modeling & Simulation）

一、机械系统运动学建模的基本方法

机械系统的运动学建模是通过对机械系统的运动进行描述和分析，以得出系统的运动规律和性能指标。在运动学建模中，常用的方法有几何法、代数法、向量法、欧拉角法、方向余弦法和D-H法等。

（一）、几何法

几何法是一种基于图形分析的运动学建模方法。通过绘制机械系统的图示，标注物体的位置、速度和加速度等信息，以揭示物体的运动规律。几何法比较直观，适用于简单的机械系统，如连杆机构和滑块机构等。

（二）、代数法

代数法是一种利用代数方程描述运动学关系的方法。通过建立机械系统的位置、速度和加速度等方程，以求解系统的动态行为。代数法适用于较为复杂的机械系统，如齿轮传动和多关节机器人等。

（三）、向量法

向量法通过建立矢量方程来描述机械系统的运动。例如，对于四连杆机构，可以建立封闭矢量多边形，通过矢量方程求解各杆件的运动规律。具体步骤如下： 1. 建立直角坐标系。 2. 用矢量表示各杆件的位置。 3. 利用矢量方程求解未知方位角。 4. 通过求导得到速度和加速度方程。

例如，对于一个四连杆机构，假设各构件的长度分别为 L1​,L2​,L3​,L4​，其方位角为 θ1​,θ2​,θ3​,θ4​。矢量方程为：r1​+r2​+r3​+r4​=0。 其中，ri​ 是第 i 个杆件的位置矢量。通过求解这个方程，可以得到各杆件的方位角。

（四）、欧拉角法

欧拉角法是一种常用的描述刚体运动的方法，它通过三个旋转角度来描述刚体的姿态变化。欧拉角法适用于描述刚体绕固定点旋转运动的情况，如飞机的姿态控制等。

（五）、方向余弦法

方向余弦法是一种采用坐标系变换的方法，利用坐标系之间的转换关系来描述刚体的运动规律。方向余弦法适用于多关节机械臂等多自由度机械系统的运动学建模。

（六）、D-H法

D-H法（Denavit-Hartenberg法）是一种系统化的方法，用于描述多关节机械臂的运动学。通过定义每个关节的坐标系和参数，可以方便地建立机械臂的运动学模型。D-H法适用于多自由度机械系统，如工业机器人等。

（七）、应用示例

以四连杆机构为例，通过建立相对运动矢量方程，可以分析机构中各杆件的运动规律，进而优化机构的设计和性能。此外，相对运动矢量方程还可以用于分析机器人的运动特性，为机器人的设计和控制提供理论支持。

（八）、数值求解和仿真

在实际应用中，通常需要使用数值方法和仿真工具来求解运动学方程。例如，可以使用MATLAB的ode45函数求解动力学方程，使用plot函数绘制系统位移、速度、加速度的时间历程曲线。

二、拉格朗日模型

拉格朗日模型是基于拉格朗日方程的系统动力学建模方法。它是一种非常强大的工具，特别适用于处理具有多个自由度和复杂约束的机械系统。以下是如何使用拉格朗日模型进行机械系统运动学和动力学建模的详细步骤。

（一）、拉格朗日模型的基本概念

拉格朗日方程是经典力学中的一个重要方程，用于描述物理系统在力学作用下的运动。对于一个具有完整约束的系统，拉格朗日方程的形式为： dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=Qi​fori=1,2,…,n 其中： L 是拉格朗日量，定义为系统的动能 T 减去势能 V，即 L=T−V。 qi​ 是广义坐标。 q˙​i​ 是广义速度。 Qi​ 是广义力。

（二）、建立拉格朗日模型的步骤

1. 确定系统的自由度和广义坐标

首先，确定系统的自由度 n 和 n 个独立的广义坐标 q1​,q2​,…,qn​。广义坐标可以是位置、角度等，具体取决于系统的结构和运动方式。

2. 计算系统的动能 T 和势能 V

动能 T：动能是系统中所有质点的动能之和。对于多自由度系统，动能可以表示为：

T=21​i=1∑n​mi​q˙​i2​

其中，mi​ 是第 i 个质点的质量，q˙​i​ 是第 i 个广义速度。

势能 V：势能是系统中所有保守力（如重力、弹力等）的势能之和。对于多自由度系统，势能可以表示为：

V=21​i=1∑n​j=1∑n​kij​qi​qj​

其中，kij​ 是刚度矩阵的元素，qi​ 和 qj​ 是广义坐标。

3. 构建拉格朗日量 L

拉格朗日量 L 定义为动能减去势能：L=T−V

4. 应用拉格朗日方程

对于每个广义坐标 qi​，应用拉格朗日方程：

dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=Qi​

其中，Qi​ 是广义力，可以是外力、摩擦力等。

（三）、多自由度机构的动力学方程求解

1. 选择广义坐标

假设有一个多自由度的机构，例如一个三自由度的振动系统，广义坐标为 x1​,x2​,x3​。

2. 计算动能和势能

动能 T：T=21​m1​x˙12​+21​m2​x˙22​+21​m3​x˙32​

势能 V：V=21​k1​(x1​−x2​)2+21​k2​(x3​−x2​)2

3. 构建拉格朗日量

L=T−V=21​m1​x˙12​+21​m2​x˙22​+21​m3​x˙32​−21​k1​(x1​−x2​)2−21​k2​(x3​−x2​)2

4. 应用拉格朗日方程

对每个广义坐标 x1​,x2​,x3​ 应用拉格朗日方程：

dtd​(∂x˙1​∂L​)−∂x1​∂L​=0dtd​(∂x˙2​∂L​)−∂x2​∂L​=0dtd​(∂x˙3​∂L​)−∂x3​∂L​=0

具体计算如下：

∂x˙1​∂L​=m1​x˙1​dtd​(∂x˙1​∂L​)=m1​x¨1​∂x1​∂L​=−k1​(x1​−x2​)m1​x¨1​+k1​(x1​−x2​)=0∂x˙2​∂L​=m2​x˙2​dtd​(∂x˙2​∂L​)=m2​x¨2​∂x2​∂L​=k1​(x1​−x2​)+k2​(x3​−x2​)m2​x¨2​−k1​(x1​−x2​)−k2​(x3​−x2​)=0∂x˙3​∂L​=m3​x˙3​dtd​(∂x˙3​∂L​)=m3​x¨3​∂x3​∂L​=−k2​(x3​−x2​)m3​x¨3​+k2​(x3​−x2​)=0

（四）、拉格朗日模型的数值求解和仿真通常涉及以下步骤：

1. 建立拉格朗日方程

首先，根据系统的动能 T 和势能 V，建立拉格朗日量 L=T−V。然后，对于每个广义坐标 qi​，应用拉格朗日方程：

dtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=Qi​

其中 Qi​ 是广义力。

2. 转换为一阶微分方程组

将拉格朗日方程转换为一阶微分方程组。这通常涉及引入广义速度 q˙​i​ 作为新的变量，从而将每个二阶方程转换为两个一阶方程。

3. 编写数值求解程序

使用数值方法，如Runge-Kutta方法，求解一阶微分方程组。在MATLAB中，可以使用ode45函数来实现。

4. 进行仿真

设置初始条件和时间范围，运行数值求解程序，得到系统随时间变化的运动状态。

5. 分析结果

对求解结果进行分析，如绘制位移、速度、加速度等随时间变化的曲线，以及相平面图等。使用MATLAB进行拉格朗日模型的数值求解和仿真 假设我们有一个简单的单摆系统，其拉格朗日量为：

L=21​ml2θ˙2−mgl(1−cosθ)

其中 m 是摆锤的质量，l 是摆长，g 是重力加速度，θ 是摆角。

拉格朗日方程为：dtd​(∂θ˙∂L​)−∂θ∂L​=0

即：dtd​(ml2θ˙)−(−mglsinθ)=0

简化得到：ml2θ¨+mglsinθ=0

或：

θ¨+lg​sinθ=0

将这个二阶方程转换为一阶方程组：θ˙=ωω˙=−lg​sinθ

在MATLAB中，可以使用以下代码求解这个方程组：

function dydt = pendulum(t, y, g, l)
    dydt = zeros(2, 1);
    dydt(1) = y(2); % dtheta/dt = omega
    dydt(2) = -g/l * sin(y(1)); % domega/dt = -g/l * sin(theta)
end

% 设置参数
g = 9.81; % 重力加速度
l = 1; % 摆长
m = 1; % 摆锤质量

% 设置初始条件
theta0 = pi/4; % 初始摆角
omega0 = 0; % 初始角速度
y0 = [theta0; omega0];

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 求解
[t, y] = ode45(@(t, y) pendulum(t, y, g, l), tspan, y0);

% 绘制结果
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, y(:, 1));
title('摆角随时间变化');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('摆角 (rad)');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, y(:, 2));
title('角速度随时间变化');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('角速度 (rad/s)');

通过运行这个程序，可以得到单摆的摆角和角速度随时间变化的曲线，从而分析单摆的运动行为。

三、牛顿 - 欧拉模型

牛顿-欧拉模型是一种基于牛顿运动定律和欧拉定理的动力学分析方法，适用于多自由度机械系统，如机器人、航天器、车辆等。该方法通过建立刚体运动的动力学方程，考虑刚体的质量、惯量以及外部力矩的作用，分析机械系统的动力学特性。

（一）、牛顿-欧拉模型的基本概念

牛顿-欧拉模型分为两个部分：牛顿方程和欧拉方程。

牛顿方程

用于描述刚体的平动，即质心的加速度与外力的关系。

欧拉方程

用于描述刚体的转动，即角加速度与外力矩的关系。

（二）、牛顿-欧拉模型的运动学建模步骤

确定系统的自由度和广义坐标。 确定机械系统的自由度数和关节坐标系。例如，对于一个六自由度的机械臂，每个关节的角度 θ1​,θ2​,…,θ6​ 作为广义坐标。

建立运动学模型

建立每个连杆的质心坐标，计算每个连杆的线速度和角速度。例如，对于一个双连杆机械臂，每个连杆的质量分别为 m1​ 和 m2​，长度分别为 l1​ 和 l2​，惯性张量分别为 I1​ 和 I2​。连杆的关节角度分别为 θ1​ 和 θ2​ 。

计算线速度和角速度

从基座开始，逐步计算每个连杆的线速度和角速度。例如，对于一个六自由度机械臂，每个连杆的角速度 wi​ 和线速度 vi​ 可以通过递推公式计算。

计算加速度

通过求导，计算每个连杆的线加速度和角加速度。例如，对于一个六自由度机械臂，每个连杆的角加速度 w˙i​ 和线加速度 v˙i​ 可以通过递推公式计算。

应用牛顿-欧拉方程

对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，计算每个连杆所受的力和力矩。例如，对于一个六自由度机械臂，每个连杆的力 Fi​ 和力矩 Ni​ 可以通过以下公式计算：

Fi​=mi​v˙Ci​​Ni​=Ii​w˙i​+wi​×Ii​wi​。

其中，mi​ 是连杆的质量，v˙Ci​​ 是连杆质心的线加速度，Ii​ 是连杆的惯性张量，w˙i​ 是连杆的角加速度。

递推计算

从基座到末端执行器，逐步计算每个连杆的运动学量（线速度、角速度、线加速度、角加速度）。然后，从末端执行器到基座，逐步计算每个连杆的动力学量（力、力矩）。

（三）、应用示例

以一个六自由度机械臂为例，假设每个连杆的质量、质心位置、惯性张量等参数已知，可以按照以下步骤进行运动学建模：

确定广义坐标

关节角度 θ1​,θ2​,…,θ6​ 作为广义坐标。

建立运动学模型

计算每个连杆的质心坐标，例如：pc11=[0;0;0],pc22=[3.5349;0.0939;0],… 计算每个连杆的旋转矩阵，例如：R01=T01(1:3,1:3),R12=T12(1:3,1:3),… 其中，T01,T12,… 是连杆之间的变换矩阵。

计算线速度和角速度

从基座开始，逐步计算每个连杆的线速度和角速度，例如： w11=R10⋅w00+θd​(1)⋅zv11d=R10⋅(w00d×p10+w00×(w00×p10)+v00d) 其中，w00 是基座的角速度，v00d 是基座的线加速度，p10 是连杆1相对于基座的位置向量。

计算加速度

通过求导，计算每个连杆的线加速度和角加速度，例如：

w11d=R10⋅w00d+(R10⋅w00)×(θd​(1)⋅z)+θd​

d(1)⋅zvc11d=w11d×pc11+w11×(w11×pc11)+v11d

其中，θd​(1) 是关节1的角速度，θd​d(1) 是关节1的角加速度。

应用牛顿-欧拉方程

对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，计算每个连杆所受的力和力矩，例如：

F11=m1⋅vc11dN11=I1⋅w11d+w11×(I1⋅w11)

其中，m1 是连杆1的质量，I1 是连杆1的惯性张量。

递推计算

从基座到末端执行器，逐步计算每个连杆的运动学量。然后，从末端执行器到基座，逐步计算每个连杆的动力学量。

四、定义系统的输入和输出变量

在机械系统运动学建模中，定义系统的输入和输出变量是至关重要的步骤。输入变量通常是指系统外部施加的控制信号或激励，而输出变量则是系统响应的结果，即我们感兴趣的运动学参数。以下是如何定义机械系统运动学建模中的输入和输出变量的详细步骤和示例。

（一）、定义输入变量

输入变量是系统外部施加的控制信号或激励，它们可以是：

关节角度

对于机器人或机械臂，关节角度是常见的输入变量。

关节速度

关节的角速度或线速度。

关节加速度

关节的角加速度或线加速度。

力或力矩

外部施加的力或力矩。

时间

时间可以作为一个隐含的输入变量，特别是在分析系统的动态行为时。

（二）、定义输出变量

输出变量是系统响应的结果，通常是我们感兴趣的运动学参数，它们可以是：

位置

系统中某个点或部件的位置。

速度

系统中某个点或部件的速度。

加速度

系统中某个点或部件的加速度。

姿态

系统中某个部件的姿态或方向。

角速度

系统中某个部件的角速度。

角加速度

系统中某个部件的角加速度。

（三）、示例：六自由度机械臂

假设我们有一个六自由度的机械臂，其运动学建模可以定义如下：

1. 输入变量

关节角度：θ1​,θ2​,θ3​,θ4​,θ5​,θ6​

关节速度：θ˙1​,θ˙2​,θ˙3​,θ˙4​,θ˙5​,θ˙6​

关节加速度：θ¨1​,θ¨2​,θ¨3​,θ¨4​,θ¨5​,θ¨6​

2. 输出变量

末端执行器的位置：x,y,z

末端执行器的姿态：α,β,γ（通常用欧拉角表示）

末端执行器的速度：x˙,y˙​,z˙

末端执行器的角速度：α˙,β˙​,γ˙​

末端执行器的加速度：x¨,y¨​,z¨

末端执行器的角加速度：α¨,β¨​,γ¨​

（四）、运动学建模步骤

1. 建立运动学模型

使用D-H参数法或其他方法建立机械臂的运动学模型。D-H参数法通过定义每个关节的坐标系和参数，可以方便地建立机械臂的运动学模型。

2. 计算正运动学

正运动学是从输入变量（关节角度）计算输出变量（末端执行器的位置和姿态）。具体步骤如下：

定义D-H参数表：

关节123456​θθ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​dd1​d2​d3​d4​d5​d6​​aa1​a2​a3​a4​a5​a6​​αα1​α2​α3​α4​α5​α6​​​

计算变换矩阵：

Ti​=​cosθi​sinθi​00​−sinθi​cosαi​cosθi​cosαi​sinαi​0​sinθi​sinαi​−cosθi​sinαi​cosαi​0​ai​cosθi​ai​sinθi​di​1​​ 计算末端执行器的位置和姿态： Tend​=T1​⋅T2​⋅T3​⋅T4​⋅T5​⋅T6​ 从 Tend​ 中提取位置和姿态信息： ​xyz1​​=Tend​⋅​0001​​​αβγ​​=提取姿态角

3. 计算速度和加速度

计算雅可比矩阵：

J=∂​θ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​​∂​xyzαβγ​​​

计算末端执行器的速度：

​x˙y˙​z˙α˙β˙​γ˙​​​=J⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​

计算末端执行器的加速度：

​x¨y¨​z¨α¨β¨​γ¨​​​=dtdJ​⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​+J⋅​θ¨1​θ¨2​θ¨3​θ¨4​θ¨5​θ¨6​​​

（五）、数值求解和仿真

在实际应用中，通常需要使用数值方法和仿真工具来求解运动学方程。以下是一个简单的示例，使用MATLAB的ode45函数求解运动学方程：

function dydt = arm_kinematics(t, y, J)
    % y = [theta1; theta2; theta3; theta4; theta5; theta6]
    % J 是雅可比矩阵
    dydt = J \ [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 假设输入速度为零
end

% 设置初始条件
theta0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始关节角度
y0 = theta0;

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 求解
[t, y] = ode45(@(t, y) arm_kinematics(t, y, J), tspan, y0);

% 计算末端执行器的位置和姿态
T_end = eye(4); % 初始化变换矩阵
for i = 1:6
    T_i = dhparam(y(i), d(i), a(i), alpha(i)); % 计算每个关节的变换矩阵
    T_end = T_end * T_i;
end

% 提取位置
position = T_end(1:3, 4);

% 提取姿态角（假设使用Z-Y-X欧拉角）
R = T_end(1:3, 1:3); % 旋转矩阵
eulerAngles = atan2d([R(3,2), -R(3,1), R(2,1)], ...
                     [sqrt(R(3,3)^2 + R(1,2)^2), ...
                      sqrt(R(3,3)^2 + R(1,1)^2), ...
                      sqrt(R(2,2)^2 + R(1,1)^2)]);

可视化结果

为了更好地理解机械臂的运动，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化末端执行器的位置和姿态。

% 绘制末端执行器的位置
figure;
plot3(position(1), position(2), position(3), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
hold on;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;
title('末端执行器的位置');
hold off;

% 绘制末端执行器的姿态
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(t, eulerAngles(:, 1));
title('Roll (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Roll (度)');

subplot(3, 1, 2);
plot(t, eulerAngles(:, 2));
title('Pitch (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Pitch (度)');

subplot(3, 1, 3);
plot(t, eulerAngles(:, 3));
title('Yaw (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Yaw (度)');

完整的MATLAB代码示例

将上述代码片段整合在一起，形成一个完整的MATLAB脚本，可以用于求解和可视化六自由度机械臂的运动学。

function dydt = arm_kinematics(t, y, J)
    % y = [theta1; theta2; theta3; theta4; theta5; theta6]
    % J 是雅可比矩阵
    dydt = J \ [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 假设输入速度为零
end

% 设置D-H参数
d = [0.15, 0, 0.4, 0.4, 0, 0.1]; % 关节偏移
a = [0, 0.3, 0, 0, 0, 0]; % 关节长度
alpha = [-pi/2, 0, -pi/2, pi/2, -pi/2, 0]; % 关节扭转角

% 设置初始条件
theta0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始关节角度
y0 = theta0;

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 求解
[t, y] = ode45(@(t, y) arm_kinematics(t, y, J), tspan, y0);

% 计算末端执行器的位置和姿态
T_end = eye(4); % 初始化变换矩阵
for i = 1:6
    T_i = dhparam(y(i), d(i), a(i), alpha(i)); % 计算每个关节的变换矩阵
    T_end = T_end * T_i;
end

% 提取位置 
position = T_end(1:3, 4);

% 提取姿态角（假设使用Z-Y-X欧拉角）
R = T_end(1:3, 1:3); % 旋转矩阵
eulerAngles = atan2d([R(3,2), -R(3,1), R(2,1)], ...
                     [sqrt(R(3,3)^2 + R(1,2)^2), ...
                      sqrt(R(3,3)^2 + R(1,1)^2), ...
                      sqrt(R(2,2)^2 + R(1,1)^2)]);

% 绘制末端执行器的位置
figure;
plot3(position(1), position(2), position(3), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
hold on;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;
title('末端执行器的位置');
hold off;

% 绘制末端执行器的姿态
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(t, eulerAngles(:, 1));
title('Roll (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Roll (度)');

subplot(3, 1, 2);
plot(t, eulerAngles(:, 2));
title('Pitch (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Pitch (度)');

subplot(3, 1, 3);
plot(t, eulerAngles(:, 3));
title('Yaw (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Yaw (度)');

说明

D-H参数法：通过定义每个关节的D-H参数，可以方便地计算每个关节的变换矩阵。

雅可比矩阵：雅可比矩阵用于将关节速度转换为末端执行器的速度。

数值求解：使用ode45函数求解运动学方程，得到关节角度随时间的变化。

结果可视化：使用MATLAB的绘图功能，可视化末端执行器的位置和姿态。

五、构建系统的运动学方程组

构建系统的运动学方程组是描述机械系统运动行为的关键步骤。以下是如何构建一个六自由度机械臂的运动学方程组的详细步骤。

（一）、定义D-H参数

首先，定义每个关节的D-H参数，包括关节角度 θi​、关节偏移 di​、关节长度 ai​ 和关节扭转角 αi​。例如，对于一个六自由度机械臂，D-H参数表可能如下：

关节123456​θi​θ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​di​d1​d2​d3​d4​d5​d6​​ai​a1​a2​a3​a4​a5​a6​​αi​α1​α2​α3​α4​α5​α6​​​

（二）、计算变换矩阵

对于每个关节，根据D-H参数计算变换矩阵 Ti​。变换矩阵 Ti​ 描述了从第 i−1 个关节到第 i 个关节的坐标变换。例如，对于第 i 个关节，变换矩阵为：

Ti​=​cosθi​sinθi​00​−sinθi​cosαi​cosθi​cosαi​sinαi​0​sinθi​sinαi​−cosθi​sinαi​cosαi​0​ai​cosθi​ai​sinθi​di​1​​

（三）、计算末端执行器的位置和姿态

通过将所有变换矩阵相乘，可以得到从基座到末端执行器的总变换矩阵 Tend​。从 Tend​ 中可以提取末端执行器的位置和姿态。例如：

Tend​=T1​⋅T2​⋅T3​⋅T4​⋅T5​⋅T6​

从 Tend​ 中提取位置和姿态信息：

​xyz1​​=Tend​⋅​0001​​​αβγ​​=提取姿态角

（四）、计算速度和加速度

计算雅可比矩阵：

雅可比矩阵 J 描述了末端执行器的速度与关节速度之间的关系。例如：

J=∂​θ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​​∂​xyzαβγ​​​

计算末端执行器的速度：

通过雅可比矩阵，可以计算末端执行器的速度：

​x˙y˙​z˙α˙β˙​γ˙​​​=J⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​

计算末端执行器的加速度：

通过求导，可以计算末端执行器的加速度：

​x¨y¨​z¨α¨β¨​γ¨​​​=dtdJ​⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​+J⋅​θ¨1​θ¨2​θ¨3​θ¨4​θ¨5​θ¨6​​​

（五）、数值求解和仿真

首先，我们需要定义一个函数来计算每个关节的变换矩阵 Ti​。这个函数将根据D-H参数表中的值来计算变换矩阵。

function T = dhparam(theta, d, a, alpha)
    % 计算变换矩阵
    T = [cos(theta), -sin(theta)*cos(alpha),  sin(theta)*sin(alpha), a*cos(theta);
         sin(theta),  cos(theta)*cos(alpha), -cos(theta)*sin(alpha), a*sin(theta);
         0,           sin(alpha),             cos(alpha),             d;
         0,           0,                      0,                      1];
end

（六）、计算雅可比矩阵

雅可比矩阵 J 描述了末端执行器的速度与关节速度之间的关系。我们需要计算每个关节对末端执行器位置和姿态的影响，从而构建雅可比矩阵。

function J = compute_jacobian(theta, d, a, alpha)
    % 初始化雅可比矩阵
    J = zeros(6, 6);

    % 计算每个关节的变换矩阵
    T = eye(4);
    for i = 1:6
        T_i = dhparam(theta(i), d(i), a(i), alpha(i));
        T = T * T_i;

        % 计算每个关节对末端执行器位置的影响
        z_i = T(1:3, 3); % 当前关节的z轴
        p_i = T(1:3, 4); % 当前关节的位置
        J(1:3, i) = cross(z_i, p_i);

        % 计算每个关节对末端执行器姿态的影响
        J(4:6, i) = z_i;
    end
end

（七）、完整的MATLAB代码

求解和可视化六自由度机械臂的运动学。

% 定义D-H参数
d = [0.15, 0, 0.4, 0.4, 0, 0.1]; % 关节偏移
a = [0, 0.3, 0, 0, 0, 0]; % 关节长度
alpha = [-pi/2, 0, -pi/2, pi/2, -pi/2, 0]; % 关节扭转角

% 设置初始条件
theta0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始关节角度
y0 = theta0;

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 计算雅可比矩阵
J = compute_jacobian(theta0, d, a, alpha);

% 求解运动学方程
[t, y] = ode45(@(t, y) arm_kinematics(t, y, J), tspan, y0);

% 计算末端执行器的位置和姿态
T_end = eye(4); % 初始化变换矩阵
for i = 1:6
    T_i = dhparam(y(end, i), d(i), a(i), alpha(i)); % 计算每个关节的变换矩阵
    T_end = T_end * T_i;
end

% 提取位置
position = T_end(1:3, 4);

% 提取姿态角（假设使用Z-Y-X欧拉角）
R = T_end(1:3, 1:3); % 旋转矩阵
eulerAngles = atan2d([R(3,2), -R(3,1), R(2,1)], ...
                     [sqrt(R(3,3)^2 + R(1,2)^2), ...
                      sqrt(R(3,3)^2 + R(1,1)^2), ...
                      sqrt(R(2,2)^2 + R(1,1)^2)]);

% 绘制末端执行器的位置
figure;
plot3(position(1), position(2), position(3), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
hold on;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;
title('末端执行器的位置');
hold off;

% 绘制末端执行器的姿态
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(t, eulerAngles(:, 1));
title('Roll (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Roll (度)');

subplot(3, 1, 2);
plot(t, eulerAngles(:, 2));
title('Pitch (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Pitch (度)');

subplot(3, 1, 3);
plot(t, eulerAngles(:, 3));
title('Yaw (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Yaw (度)');

（八）、说明

D-H参数法：通过定义每个关节的D-H参数，可以方便地计算每个关节的变换矩阵。

雅可比矩阵：雅可比矩阵用于将关节速度转换为末端执行器的速度。

数值求解：使用ode45函数求解运动学方程，得到关节角度随时间的变化。

结果可视化：使用MATLAB的绘图功能，可视化末端执行器的位置和姿态。

六、示例

以机械臂为例，通过结构参数和关节运动关系建立运动学模型是一个系统的过程。以下是一个详细的步骤说明，包括如何定义结构参数、如何建立关节运动关系，以及如何通过这些信息构建完整的运动学模型。

（一）、定义机械臂的结构参数

确定关节类型：

机械臂的关节可以是旋转关节（Revolute Joint）或移动关节（Prismatic Joint）。旋转关节的运动是旋转角度，移动关节的运动是线性位移。

定义D-H参数：

D-H参数法是一种常用的方法，用于描述机械臂的结构和运动。每个关节有四个D-H参数：关节角度 θi​、关节偏移 di​、关节长度 ai​ 和关节扭转角 αi​。 例如，对于一个六自由度机械臂，D-H参数表可能如下：

1. 关节：123456
2. 关节角度​θi​：θ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​
3. 关节偏移di​：d1​d2​d3​d4​d5​d6
4. 关节长度ai​：a1​a2​a3​a4​a5​a6​​
5. 关节扭转角αi​：α1​α2​α3​α4​α5​α6​​​

（二)、建立关节运动关系

计算变换矩阵：

对于每个关节，根据D-H参数计算变换矩阵 Ti​。变换矩阵 Ti​ 描述了从第 i−1 个关节到第 i 个关节的坐标变换。例如，对于第 i 个关节，变换矩阵为：

Ti​=​cosθi​sinθi​00​−sinθi​cosαi​cosθi​cosαi​sinαi​0​sinθi​sinαi​−cosθi​sinαi​cosαi​0​ai​cosθi​ai​sinθi​di​1​​

计算总变换矩阵：

通过将所有变换矩阵相乘，可以得到从基座到末端执行器的总变换矩阵 Tend​。例如：

Tend​=T1​⋅T2​⋅T3​⋅T4​⋅T5​⋅T6​

(三)、计算末端执行器的位置和姿态

提取位置：

从总变换矩阵 Tend​ 中提取末端执行器的位置。例如：

​xyz1​​=Tend​⋅​0001​​

提取姿态：

从总变换矩阵 Tend​ 中提取末端执行器的姿态。通常使用欧拉角（Roll, Pitch, Yaw）来表示姿态。例如：

R=Tend​(1:3,1:3)(旋转矩阵)​αβγ​​=提取姿态角

(四)、计算速度和加速度

计算雅可比矩阵：

雅可比矩阵 J 描述了末端执行器的速度与关节速度之间的关系。例如：

J=∂​θ1​θ2​θ3​θ4​θ5​θ6​​​∂​xyzαβγ​​​

计算末端执行器的速度：

通过雅可比矩阵，可以计算末端执行器的速度：

​x˙y˙​z˙α˙β˙​γ˙​​​=J⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​

计算末端执行器的加速度：

通过求导，可以计算末端执行器的加速度：

​x¨y¨​z¨α¨β¨​γ¨​​​=dtdJ​⋅​θ˙1​θ˙2​θ˙3​θ˙4​θ˙5​θ˙6​​​+J⋅​θ¨1​θ¨2​θ¨3​θ¨4​θ¨5​θ¨6​​​

(五)、数值求解和仿真

在实际应用中，通常需要使用数值方法和仿真工具来求解运动学方程。以下是一个完整的MATLAB示例，包括D-H参数计算、雅可比矩阵计算、数值求解和结果可视化。

% 定义D-H参数
d = [0.15, 0, 0.4, 0.4, 0, 0.1]; % 关节偏移
a = [0, 0.3, 0, 0, 0, 0]; % 关节长度
alpha = [-pi/2, 0, -pi/2, pi/2, -pi/2, 0]; % 关节扭转角

% 设置初始条件
theta0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始关节角度
y0 = theta0;

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 计算雅可比矩阵
J = compute_jacobian(theta0, d, a, alpha);

% 求解运动学方程
[t, y] = ode45(@(t, y) arm_kinematics(t, y, J), tspan, y0);

% 计算末端执行器的位置和姿态
T_end = eye(4); % 初始化变换矩阵
for i = 1:6
    T_i = dhparam(y(end, i), d(i), a(i), alpha(i)); % 计算每个关节的变换矩阵
    T_end = T_end * T_i;
end

% 提取位置
position = T_end(1:3, 4);

% 提取姿态角（假设使用Z-Y-X欧拉角）
R = T_end(1:3, 1:3); % 旋转矩阵
eulerAngles = atan2d([R(3,2), -R(3,1), R(2,1)], ...
                     [sqrt(R(3,3)^2 + R(1,2)^2), ...
                      sqrt(R(3,3)^2 + R(1,1)^2), ...
                      sqrt(R(2,2)^2 + R(1,1)^2)]);

% 绘制末端执行器的位置
figure;
plot3(position(1), position(2), position(3), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
hold on;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;
title('末端执行器的位置');
hold off;
% 绘制末端执行器

(六)、绘制末端执行器的姿态

为了更好地理解末端执行器的姿态，我们可以绘制Roll、Pitch和Yaw角随时间的变化。这些角度描述了末端执行器在三维空间中的方向。

% 绘制末端执行器的姿态
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(t, eulerAngles(:, 1));
title('Roll (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Roll (度)');

subplot(3, 1, 2);
plot(t, eulerAngles(:, 2));
title('Pitch (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Pitch (度)');

subplot(3, 1, 3);
plot(t, eulerAngles(:, 3));
title('Yaw (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Yaw (度)');

(七)、完整的MATLAB代码

将上述代码片段整合在一起，形成一个完整的MATLAB脚本，可以用于求解和可视化六自由度机械臂的运动学。

% 定义D-H参数
d = [0.15, 0, 0.4, 0.4, 0, 0.1]; % 关节偏移
a = [0, 0.3, 0, 0, 0, 0]; % 关节长度
alpha = [-pi/2, 0, -pi/2, pi/2, -pi/2, 0]; % 关节扭转角

% 设置初始条件
theta0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始关节角度
y0 = theta0;

% 设置时间范围
tspan = [0 10];

% 计算雅可比矩阵
J = compute_jacobian(theta0, d, a, alpha);

% 求解运动学方程
[t, y] = ode45(@(t, y) arm_kinematics(t, y, J), tspan, y0);

% 计算末端执行器的位置和姿态
T_end = eye(4); % 初始化变换矩阵
for i = 1:6
    T_i = dhparam(y(end, i), d(i), a(i), alpha(i)); % 计算每个关节的变换矩阵
    T_end = T_end * T_i;
end

% 提取位置
position = T_end(1:3, 4);

% 提取姿态角（假设使用Z-Y-X欧拉角）
R = T_end(1:3, 1:3); % 旋转矩阵
eulerAngles = atan2d([R(3,2), -R(3,1), R(2,1)], ...
                     [sqrt(R(3,3)^2 + R(1,2)^2), ...
                      sqrt(R(3,3)^2 + R(1,1)^2), ...
                      sqrt(R(2,2)^2 + R(1,1)^2)]);

% 绘制末端执行器的位置
figure;
plot3(position(1), position(2), position(3), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
hold on;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
grid on;
axis equal;
title('末端执行器的位置');
hold off;

% 绘制末端执行器的姿态
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(t, eulerAngles(:, 1));
title('Roll (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Roll (度)');

subplot(3, 1, 2);
plot(t, eulerAngles(:, 2));
title('Pitch (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Pitch (度)');

subplot(3, 1, 3);
plot(t, eulerAngles(:, 3));
title('Yaw (度)');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('Yaw (度)');

% 计算变换矩阵的函数
function T = dhparam(theta, d, a, alpha)
    % 计算变换矩阵
    T = [cos(theta), -sin(theta)*cos(alpha),  sin(theta)*sin(alpha), a*cos(theta);
         sin(theta),  cos(theta)*cos(alpha), -cos(theta)*sin(alpha), a*sin(theta);
         0,           sin(alpha),             cos(alpha),             d;
         0,           0,                      0,                      1];
end

% 计算雅可比矩阵的函数
function J = compute_jacobian(theta, d, a, alpha)
    % 初始化雅可比矩阵
    J = zeros(6, 6);

    % 计算每个关节的变换矩阵
    T = eye(4);
    for i = 1:6
        T_i = dhparam(theta(i), d(i), a(i), alpha(i));
        T = T * T_i;

        % 计算每个关节对末端执行器位置的影响
        z_i = T(1:3, 3); % 当前关节的z轴
        p_i = T(1:3, 4); % 当前关节的位置
        J(1:3, i) = cross(z_i, p_i);

        % 计算每个关节对末端执行器姿态的影响
        J(4:6, i) = z_i;
    end
end

% 运动学方程的函数
function dydt = arm_kinematics(t, y, J)
    % y = [theta1; theta2; theta3; theta4; theta5; theta6]
    % J 是雅可比矩阵
    dydt = J \ [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 假设输入速度为零
end

(八)、说明

D-H参数法：通过定义每个关节的D-H参数，可以方便地计算每个关节的变换矩阵。

雅可比矩阵：雅可比矩阵用于将关节速度转换为末端执行器的速度。

数值求解：使用ode45函数求解运动学方程，得到关节角度随时间的变化。

结果可视化：使用MATLAB的绘图功能，可视化末端执行器的位置和姿态。

七、机械系统仿真软件

(一)、MATLAB软件介绍

MATLAB（Matrix Laboratory）是由MathWorks公司开发的一种高性能语言，主要用于技术计算。它集成了数值分析、矩阵计算、信号处理和图形用户界面等多种功能，广泛应用于工程、科学、金融等领域。MATLAB的 主要特点包括：

强大的数值计算能力

支持矩阵运算、线性代数、傅里叶变换、统计分析等。 丰富的工具箱：提供多种专业工具箱，如控制系统工具箱、信号处理工具箱、图像处理工具箱等。

图形用户界面

支持数据可视化，可以方便地绘制二维和三维图形。 编程语言：具有高级编程语言的特性，支持函数、循环、条件语句等。

与其他语言的接口

可以与C、C++、Java等语言进行交互，扩展功能。

Simulink

提供了一个基于图形的环境，用于多域仿真和模型设计。

(二)、MATLAB使用方法

1. 启动MATLAB

在Windows系统中，可以通过开始菜单找到MATLAB并启动。

在macOS系统中，可以通过Launchpad找到MATLAB并启动。

在Linux系统中，可以通过终端输入 matlab 命令启动。

2. 主界面

启动MATLAB后，主界面通常包括以下几个部分： 1. 命令窗口（Command Window）：用于输入命令和查看输出结果。 2. 工作区（Workspace）：显示当前工作空间中的变量及其值。 3. 当前文件夹（Current Folder）：显示当前工作目录中的文件和文件夹。 4. 命令历史（Command History）：记录最近输入的命令，方便查找和重复使用。 5. 编辑器（Editor）：用于编写和编辑MATLAB脚本和函数。

3. 基本操作

3.1 命令窗口

1. 输入命令：在命令窗口中输入命令并按回车键执行。例如：

a = 5;
b = 3;
c = a + b

输出结果：

c =8

1. 查看变量：使用 who 和 whos 命令查看工作区中的变量。

who
whos

1. 清除变量：使用 clear 命令清除工作区中的变量。

clear

3.2 工作区

1. 查看变量：在工作区中可以查看当前工作空间中的变量及其值。
2. 保存变量：使用 save 命令将变量保存到文件中。

save mydata.mat a b c

1. 加载变量：使用 load 命令从文件中加载变量。

load mydata.mat

3.3 编辑器

1. 编写脚本：在编辑器中编写MATLAB脚本文件（.m文件）。例如，创建一个名为 my_script.m 的文件，内容如下：

% 这是一个示例脚本
a = 5;
b = 3;
c = a + b;
disp(['结果是: ', num2str(c)]);

1. 运行脚本：在编辑器中点击“运行”按钮或在命令窗口中输入脚本名称运行脚本。

my_script

3.4 绘图

1. 绘制二维图形：使用 plot 函数绘制二维图形。

x = 0:0.1:10;
y = sin(x);
plot(x, y);
title('正弦波');
xlabel('x');
ylabel('y');

1. 绘制三维图形：使用 plot3 函数绘制三维图形。

t = 0:0.1:10;
x = sin(t);
y = cos(t);
z = t;
plot3(x, y, z);
title('三维螺旋线');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
grid on;

4. 常用命令

1. 帮助命令：使用 help 和 doc 命令获取帮助信息。

help plot
doc plot

1. 路径管理：使用 cd 命令更改当前工作目录，使用 pwd 命令查看当前工作目录。

cd 'C:\MyProjects'
pwd

1. 文件管理：使用 dir 命令查看当前目录下的文件和文件夹。

dir

5. 工具箱

1. 安装工具箱：通过MATLAB的安装程序安装所需的工具箱。
2. 使用工具箱：在命令窗口中输入工具箱的名称，查看工具箱的函数和文档。例如，使用控制系统工具箱：

tf([1 2], [1 3 2])

(三)、ADAMS

Adams（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）是一款广泛应用于多体动力学仿真领域的软件。它由美国Mechanical Dynamics公司开发，后被ANSYS公司收购。Adams软件自1970年代末诞生以来，一直是机械系统动态分析的行业标准。

1. 工作原理的基本理念

Adams的核心是基于拉格朗日第二类方程或牛顿第二定律建立系统方程，通过数值积分技术来模拟机械系统的运动。它将复杂的多体系统简化为刚体或柔性体的集合，再以各种约束和驱动力来描述这些体之间的相互作用。

2. 基本工作流程

利用Adams软件进行仿真的基本工作流程包括：建立系统模型、定义材料和属性、施加约束和运动、进行动力学分析、查看仿真结果等步骤。这一流程通过软件的用户界面一步步引导用户完成，确保了仿真的准确性和高效性。

3. Adams软件使用方法

3.1.安装与激活

Adams软件的安装需要按照安装包中的指引进行，一般包括选择安装路径、输入许可证信息和安装组件等步骤。在安装完成后，需要进行许可证激活，以保证软件的正常使用。

3.2 软件界面

Adams软件的界面主要分为几个部分，包括菜单栏、工具栏、模型树、绘图区和属性栏等。其中，模型树用于管理模型中的各个组件和约束条件，绘图区用于显示仿真结果和模型的构型，属性栏则用于设置各个组件的属性参数。

3.3 创建模型

在Adams软件中，创建模型需要按照以下步骤进行：

3.3.1选择模型类型

Adams软件支持多种模型类型，包括机械系统、液压系统、电气系统等。需要根据实际需要选择相应的模型类型。

3.3.2添加组件

在模型树中选择相应的组件类型，然后将其拖拽到绘图区中，即可添加相应的组件。需要注意的是，组件之间需要通过约束条件进行连接。

3.3.3设置属性参数

在属性栏中，设置各个组件的属性参数，包括尺寸、质量、摩擦系数、弹性系数等。

3.3.4添加约束条件

在模型树中选择相应的约束条件类型，然后将其拖拽到绘图区中，即可添加相应的约束条件。需要注意的是，约束条件的设置需要与组件的属性参数相匹配。

3.4 运行仿真

在创建模型完成后，需要进行仿真运行，以获得模型的动态响应和运动轨迹等信息。在Adams软件中，运行仿真需要按照以下步骤进行：

3.4.1 设置仿真参数

在仿真参数设置界面中，设置仿真的时间范围、时间步长、求解器类型等参数。

3.4.2 运行仿真

在工具栏中选择“运行”按钮，即可开始运行仿真。在仿真过程中，软件会实时显示模型的运动轨迹和各个组件的状态信息。

3.4.3 分析仿真结果

在仿真结束后，可以通过绘图区中的图像和数据来分析仿真结果，以评估模型的性能和优化设计。

3.5 应用实例

Adams软件广泛应用于机械、汽车、航空航天、船舶等工业领域。例如，可以用于预测机械系统的性能、运动范围、碰撞检测、峰值载荷以及计算有限元的输入载荷等。

(四)、软件的基本功能和操作方法

以汽车悬挂系统的运动学仿真为例，介绍MATLAB和Adams软件的功能和操作

1. MATLAB/Simulink在汽车悬挂系统仿真中的应用

1.1 建立数学模型

首先，需要根据汽车悬挂系统的物理特性建立数学模型。通常，悬挂系统可以简化为一个二阶系统，包括车身质量、车轮质量、悬架弹簧刚度、悬架阻尼等参数。

例如，一个1/4车辆模型可以表示为：

mb​x¨b​+cs​(x˙b​−x˙w​)+ks​(xb​−xw​)=0mw​x¨w​+ct​(x˙w​−x˙g​)+kt​(xw​−xg​)−cs​(x˙b​−x˙w​)−ks​(xb​−xw​)=0

其中：

• mb​ 是车身质量

• mw​ 是车轮质量

• xb​ 是车身位移

• xw​ 是车轮位移

• ks​ 是悬架弹簧刚度

• kt​ 是轮胎刚度

• cs​ 是悬架阻尼

• ct​ 是轮胎阻尼

• xg​ 是路面位移

1.2 使用Simulink建模

1. 打开Simulink：在MATLAB命令窗口中输入 simulink，然后按回车键。
2. 创建新模型：在Simulink库浏览器中，选择“Blank Model”创建一个新的空白模型。
3. 添加模块：从Simulink库中拖拽所需的模块到模型窗口中。例如，可以添加 Integrator、Gain、Sum 和 Scope 等模块。
4. 连接模块：使用鼠标将模块之间的输入和输出端口进行连接，形成信号路径。
5. 设置参数：双击模块可以设置参数，以满足特定的仿真需求。例如，设置 Integrator 的初始条件、Gain 的增益值等。
6. 运行仿真：在Simulink模型窗口中，单击“Run”按钮开始仿真运行。
7. 仿真结果可以在 Scope 中查看。

1.3 仿真分析

1. 选择路面激励信号：选择代表性的路面激励信号，如随机不平路面或正弦波。
2. 运行仿真：运行仿真后，观察 Scope 中的输出结果，评估悬架系统的性能。
3. 调整参数：根据仿真结果，调整模型参数以优化性能。例如，调整悬架弹簧刚度和阻尼系数。
4. 结果分析：通过仿真结果，评估悬架系统的稳定性和乘坐舒适性。

2. Adams在汽车悬挂系统仿真中的应用

2.1 建立模型

1. 打开Adams：启动Adams软件，进入主界面。
2. 创建新模型：选择“New Model”创建一个新的模型。
3. 添加组件：在模型树中选择所需的组件类型，拖拽到绘图区中。例如，添加车轮、悬架和车身组件。
4. 设置属性参数：在属性栏中设置各个组件的属性参数，如尺寸、质量、摩擦系数等。
5. 添加约束条件：在模型树中选择所需的约束条件类型，拖拽到绘图区中。例如，添加悬架弹簧和阻尼器。

2.2 运行仿真

1. 设置仿真参数：在仿真参数设置界面中，设置仿真的时间范围、时间步长、求解器类型等参数。
2. 运行仿真：在工具栏中选择“Run”按钮，开始运行仿真。

仿真过程中，软件会实时显示模型的运动轨迹和各个组件的状态信息。

1. 分析仿真结果：仿真结束后，通过绘图区中的图像和数据来分析仿真结果。
2. 评估悬架系统的悬架行程、车体加速度、横向加速度等关键参数。

2.3 优化设计

1. 优化参数：根据仿真结果，调整悬架系统的参数和结构，优化动力学性能。例如，增加弹簧刚度、调整减振器阻尼等。
2. 重新仿真：重新运行仿真，验证优化后的性能。
3. 结果分析：通过优化设计，评估悬架系统的性能提升情况。

视频讲解

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